CF1392I Kevin and Grid

做这题的时候感觉网上的讲解很不清楚。但是写完了之后发现其实我也讲不出什么东西 $\dots$

本质上这是一个联通块计数的问题。

我们考虑这个数据范围肯定不是给 $dp, dfs$ 的。

考虑是一个网格图，有一定的性质。考虑一下欧拉定理。

设联通块的个数是 $k$。

那么 $V - E + F = k + 1$。

我们就可以通过这些求出联通块的个数。

但是不同的联通块会产生不同的贡献。我们在加上的联通块数量的贡献之后还需要加上包含在内部的贡献。

不妨设 $\ge x​$ 的点构成的联通块是 $A​$，另一个是 $B​$。

我们考虑网格图那么面（除了最外面的）肯定是四联通。或者是中间包含了一个 $A$ 的联通块。

那么本质上 $F_B - \text{B 中的 4 联通块} - 1$ 就是 $A$ 中包含的联通块。

设 $A$ 中的 $4$ 联通块是 $D_A$，$B$ 中的是 $D_B$。

那么最终的答案就是。
$$
\begin{aligned}
&V_A - E_A + F_A - V_B + E_B - F_B + In_A - In_B \
=&V_A - E_A - V_B + E_B + D_A - D_B
\end{aligned}
$$
我们考虑如何统计这些信息。不妨拿 $A$ 的信息举例子。

  • $4$ 联通块： 也就是 $4$ 个位置都 $\ge x$，求 $\min(a_i, a_{i - 1}) + \min(b_j, b_{j - 1}) \ge x$ 计算。
  • 边 ： 对于横着的边求 $\min(b_i, b_{i - 1}) + a_j \ge x$ 即可，竖着就是 $\min(a_i, a_{i - 1}) + b_j \ge x$。
  • 点： 直接 $FFT$ 即可。 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//#define Fread
//#define Getmod

#ifdef Fread
char buf[1 << 21], *iS, *iT;
#define gc() (iS == iT ? (iT = (iS = buf) + fread (buf, 1, 1 << 21, stdin), (iS == iT ? EOF : *iS ++)) : *iS ++)
#define getchar gc
#endif // Fread

template <typename T>
void r1(T &x) {
	x = 0;
	char c(getchar());
	int f(1);
	for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for(; '0' <= c && c <= '9';c = getchar()) x = (x * 10) + (c ^ 48);
	x *= f;
}

template <typename T,typename... Args> inline void r1(T& t, Args&... args) {
    r1(t);  r1(args...);
}

//#define int long long
const int lim = (1 << 18), len = 18;
const int N = lim;
const double pi = acos(-1.0);
const int maxn = N + 20;

struct Complex {
    double x, y;
    Complex(double a = 0, double b = 0) : x(a), y(b) {}
    Complex operator + (const Complex &z) const { return Complex(x + z.x, y + z.y); }
    Complex operator - (const Complex &z) const { return Complex(x - z.x, y - z.y); }
    Complex operator * (const Complex &z) const { return Complex(x * z.x - y * z.y, x * z.y + y * z.x); }
    Complex & operator += (const Complex &z) { return *this = *this + z, *this; }
    Complex & operator -= (const Complex &z) { return *this = *this - z, *this; }
    Complex & operator *= (const Complex &z) { return *this = *this * z, *this; }
}tmp[maxn];

Complex mnA[maxn], mnB[maxn];

Complex mxA[maxn], mxB[maxn];

Complex nA[maxn], nB[maxn];

int rev[maxn];

void FFT(Complex *A,int opt) {
    for(int i = 0; i < lim; ++ i) if(i < rev[i]) swap(A[i], A[rev[i]]);
    for(int mid = 1; mid < lim; mid <<= 1) {
        Complex wn(cos(pi / mid), opt * sin(pi / mid));
        for(int j = 0, c = (mid << 1); j < lim; j += c) {
            Complex W(1, 0);
            for(int k = 0; k < mid; ++ k, W *= wn) {
                Complex x = A[j + k], y = W * A[j + k + mid];
                A[j + k] = x + y;
                A[j + k + mid] = x - y;
            }
        }
    }
    if(opt == -1) for(int i = 0; i < lim; ++ i) A[i].x /= lim;
}

int n, m, Q;
typedef long long ll;
int a[maxn], b[maxn];

void Mul(ll *ans,Complex *A, Complex *B) {
    for(int i = 0; i < lim; ++ i) tmp[i] = A[i] * B[i];
    FFT(tmp, -1);
    for(int i = 0; i < lim; ++ i) ans[i] += round(tmp[i].x);
}

ll V[maxn << 1], mxE[maxn << 1], mnE[maxn << 1], mxD[maxn << 1], mnD[maxn << 1];



signed main() {
//    freopen("S.in", "r", stdin);
//    freopen("S.out", "w", stdout);
    int i, j;
    for(i = 0; i < lim; ++ i) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1));
    r1(n, m, Q);
    for(i = 1; i <= n; ++ i) {
        r1(a[i]);
        nA[a[i]].x ++;
        if(i > 1)
            mnA[min(a[i - 1], a[i])].x ++,
            mxA[max(a[i - 1], a[i])].x ++;
    }
    for(i = 1; i <= m; ++ i) {
        r1(b[i]);
        nB[b[i]].x ++;
        if(i > 1)
            mnB[min(b[i - 1], b[i])].x ++,
            mxB[max(b[i - 1], b[i])].x ++;
    }
    FFT(nA, 1), FFT(nB, 1);
    FFT(mnA, 1), FFT(mxA, 1);
    FFT(mnB, 1), FFT(mxB, 1);

    Mul(V, nA, nB);
    for(i = 1; i <= N; ++ i) V[i] += V[i - 1];

    Mul(mxE, mnA, nB);
    Mul(mxE, nA, mnB);
    for(i = N; i >= 1; -- i) mxE[i] += mxE[i + 1];

    Mul(mnE, nA, mxB);
    Mul(mnE, mxA, nB);
    for(i = 1; i <= N; ++ i) mnE[i] += mnE[i - 1];

    Mul(mxD, mnA, mnB);
    for(i = N; i >= 1; -- i) mxD[i] += mxD[i + 1];

    Mul(mnD, mxA, mxB);
    for(i = 1; i <= N; ++ i) mnD[i] += mnD[i - 1];

    while(Q --) {
        int x; r1(x);
        long long ans(0);
        ans = 1ll * n * m - 2 * V[x - 1] + mnE[x - 1] - mxE[x] + mxD[x] - mnD[x - 1];
        printf("%lld\n", ans);
    }

	return 0;
}